Начнём с рисунка: где робот стартовал, какую дорогу проехал и где оказался. Затем разберём, как обороты колёс помогают проехать прямо или повернуть.
2 мотора
Мотор А (левый) и Мотор В (правый)
3 режима
Прямо • Опорный • Танковый
1 правило дуги
Работает для любого поворота
4 шага
От рисунка к формуле
Начните здесьБез формул
Путь и перемещение: одна прогулка, два ответа
Следите за одной точкой — центром робота. Откуда она стартовала и где оказалась?
〰
Путь — длина всей дорожки
Сколько робот действительно проехал: считаем все участки, включая повороты и возвращение назад.
➜
Перемещение — стрелка от А до Б
Соединяем начало и конец прямой стрелкой. Форма дорожки на эту стрелку не влияет.
Из А в Б можно приехать по-разному. Нажмите на маршрут: зелёная стрелка останется той же, оранжевый путь изменится.
Прямо: путь 60 см, длина перемещения 60 см. Только здесь они равны.
Запомнить: путь — число сантиметров по следу. Перемещение — вектор от начальной точки к конечной; у него есть длина и направление. Если вернуться в А, путь накопится, а перемещение станет нулевым.
Базовая модельАнатомия платформы
Из чего состоит наш робот
Два ведущих колеса, два мотора и точка посередине
У робота два одинаковых ведущих колеса. Левое колесо вращает мотор А, правое — мотор В. Если колёса едут одинаково, робот движется прямо. Если по-разному — поворачивает.
Инженерная кинематическая схема дифференциального робота: ведущая ось с моторами А и В, ширина колеи L, диаметр колеса d и центральный маркер.
Дополнительно: обозначения, знаки и энкодер
Система обозначений и единицы измерения
r
Радиус колёс ($r$)
Радиусы колёс равны: $r_A = r_B = r$. Измеряется в сантиметрах (см) или дециметрах (дм).
d
Диаметр колёс ($d$)
Связан с радиусом соотношением: $d = 2r$.
C
Длина окружности ($C$)
Путь за 1 полный оборот колеса: $C = 2\pi r = \pi d$. Принято $\pi \approx 3{,}14$.
L
Ширина колеи ($L$)
Расстояние между центрами левого и правого колёс робота.
θA
Угол поворота мотора А
Угол поворота оси левого мотора/колеса в градусах ($^\circ$) или оборотах ($N_A$).
θB
Угол поворота мотора В
Угол поворота оси правого мотора/колеса в градусах ($^\circ$) или оборотах ($N_B$).
α
Курсовой угол робота ($\alpha$)
Угол поворота всего корпуса робота относительно стартового направления.
S
Пройденный путь ($S$)
Длина линии, прочерченной колесом или установленным маркером.
Отрицательное вращение ($\theta < 0$): Вращение мотора назад (реверс).
Прямой проезд: Если обе оси моторов повернутся на $+10^\circ$, робот проедет вперёд строго прямо.
Округление: При решении задач принимается $\pi \approx 3{,}14$. Округление промежуточных величин не производится — округляется только итоговый ответ (как правило, до целых).
Датчик обратной связи: Энкодер мотора
Энкодер — это управляемый цифровой датчик угла поворота, установленный на валу мотора.
На выходе энкодера формируются электрические импульсы, пропорциональные углу поворота оси.
Принцип работы инкрементального энкодера: при вращении колеса вперед счетчик градусов растет, при движении назад — уменьшается.
Глава №1Прямолинейное движение
1.1 Проезд прямо
Законы прямолинейного качения колес без проскальзывания
При прямолинейном движении каждое из колёс робота перемещается на одинаковое расстояние в одном и том же направлении:
Сначала на числах. Диаметр колеса 10 см. За оборот оно проходит примерно 31,4 см, за два оборота — 62,8 см. Если оба колеса сделали по два оборота, робот едет прямо на 62,8 см.
Оба колеса поворачиваются на одинаковый угол $\theta$ с одинаковой скоростью, поэтому робот не меняет курс ($\alpha = 0^\circ$).
Чтобы найти расстояние $S$, которое преодолел робот при прямолинейном движении, необходимо длину окружности колеса $C$ умножить на число совершённых оборотов $N$:
Расчет пути через диаметр/радиус и угол поворотаБазовые уравнения
$$S = C \cdot N = \pi d \cdot N = 2\pi r \cdot N$$
$$S = \pi d \cdot \frac{\theta^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi r \theta^\circ}{180^\circ}$$
Здесь один полный оборот колеса ($N = 1$) строго соответствует углу поворота оси на $360^\circ$: $N = \frac{\theta^\circ}{360^\circ}$.
🎡 Интерактивная демонстрация: Развертка катящегося колеса по плоскости
Живой эксперимент
Посмотрите, как при вращении колеса красная метка на ободе отпечатывает на поверхности отрезок пути, в точности равный длине окружности $C = \pi d$.
Диаметр колеса: 12 см
Оборотов N: 1.0 об.
Дополнительно: скорость и график движения
Частота вращения и линейная скорость
Частота вращения $\nu$ показывает, сколько оборотов в единицу времени (в секунду или в минуту) совершает колесо:
$\nu = \frac{N}{t}$.
Если частоту вращения колеса умножить на длину его окружности, мы получим линейную скорость движения робота:
Линейная скорость роботаФормула
$$V = \nu \cdot C = \nu \cdot \pi d = 2\pi r \nu$$
Когда робот едет назад: смотрим на знак скорости
Для движения вдоль одной прямой направление можно учитывать знаком: вперёд — плюс, назад — минус. На графике ниже площади над осью складываются с положительным знаком, под осью — с отрицательным. Для пути берём их модули и складываем. Для дуги в плоскости такой график сам по себе не даёт вектор перемещения.
График направленной скорости v(t)
Пробуем посчитать сами
Пример 1. Один оборот — сколько проедет робот?
Дано: диаметр колеса $d=10\text{ см}$. Оба мотора сделали по два оборота ($720^\circ$). Найти путь робота.
1. Дорожка за один оборот
Диаметр 10 см. Длина окружности: $10\times3{,}14=31{,}4$ см.
2. Два оборота
Два оборота: $31{,}4\times2=62{,}8$ см.
Ответ: робот проедет 62,8 см. Каждое колесо делает два полных оборота.
Дополнительные задачи с углами моторов
Пример №2. Дистанция по углу поворота моторов
Условие: Определите, какое расстояние проедет робот, если оси моторов повернутся на $720^\circ$. Диаметр колёс $d = 12\text{ см}$.
Условие: Колеса $d = 12\text{ см}$, колея $L = 20\text{ см}$. Ось мотора А повернулась на $1200^\circ$, ось мотора В — на $1200^\circ$. Определите тип и длину кривой для: А) центра колеса А; Б) центра колеса В; В) точки посередине между колесами.
Анализ кинематики:
Оба мотора вращаются в одну сторону на одинаковый угол $\implies$ прямолинейное движение.
$$S = 3{,}14 \cdot 12 \cdot \frac{1200^\circ}{360^\circ} = 37{,}68 \cdot \frac{10}{3} = 125{,}6\text{ см} \approx 126\text{ см}$$
Ответ: траектория центра колеса А, центра колеса В и точки посередине — это прямолинейные отрезки длиной по 126 см.
Глава №2Криволинейная кинематика
Глава 2. Одно правило для любого поворота
Сначала выберите точку, радиус её траектории и угол поворота
Представьте, что робот обходит точку $O$. Колёса и центр робота рисуют дуги вокруг неё. За один и тот же поворот дальняя точка проходит более длинную дугу. Радиус $R$ всегда измеряется от $O$ до той точки, путь которой мы ищем.
Разбираем на числах
От рисунка к формуле за четыре шага
Диаметр колеса — 10 см, расстояние между колёсами — 20 см. Повернём робота на четверть круга (90°).
Шаг 1. Колёса едут в разные стороны. Робот крутится вокруг точки посередине между ними.
Центр поворота — посередине.
Главное правило дуги
Длина дуги = радиус × угол
Выберите точку, чей след ищете. Чем дальше она от центра поворота, тем длиннее её дуга при том же повороте робота.
Показать формулу из тетради
$s=R\alpha$
Для колеса ту же дугу можно найти по его вращению: $R_{\text{колеса}}\alpha=r\varphi$. Здесь $r$ — радиус колеса, $\varphi$ — поворот мотора, $\alpha$ — поворот робота; оба угла берутся в радианах и здесь означают величины поворота без знака. Направление вправо или влево учитывается отдельно. Для середины робота используйте только $s=R_{\text{середины}}\alpha$. В тетради олимпиадника радиус траектории назван $L$; здесь $L$ уже означает колею, поэтому радиус дуги обозначен $R$. Если угол дан в градусах: $s=2\pi R\cdot\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$.
1Выберите, чей след ищете: колеса или середины.
2Найдите расстояние от центра поворота до этой точки.
3Сравните: больший радиус даёт более длинную дугу.
Танковый поворотЦентр поворота посередине. Радиус дорожки каждого колеса — половина расстояния между колёсами.
Вокруг колеса ВЦентр поворота в неподвижном колесе В. Радиус дорожки колеса А — всё расстояние между колёсами.
Общая дугаЕсли оба колеса едут вперёд, быстрее едущее колесо проходит более широкую дугу.
Один угол 90° — два разных радиуса
Расстояние между колёсами — 20 см. Робот повернулся на четверть круга (90°). Какой след оставило колесо А?
Танковый поворот
Радиус дорожки 10 см. Четверть окружности: $2\times3{,}14\times10\div4=15{,}7$ см.
Вокруг колеса В
Радиус дорожки 20 см. Четверть окружности: $2\times3{,}14\times20\div4=31{,}4$ см.
Угол одинаковый, но во втором случае радиус вдвое больше — поэтому колесо А проезжает вдвое больше.
Геометрия поворота робота по концентрическим дугам: центральный угол поворота робота α одинаков для обоих колёс, но радиусы Ra и Rb различны.
Дополнительно: почему отношение радиусов равно отношению оборотов
Математический вывод отношения радиусов
Пусть $R_A$ и $R_B$ — радиусы окружностей, по которым движутся центры колёс А и В.
Вычислим длину дуги, пройденную колесом А двумя способами:
Через длину дуги окружности радиуса $R_A$ с центральным углом $\alpha$: $S_A = 2\pi R_A \cdot \frac{\alpha^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi R_A \alpha^\circ}{180^\circ}$
Через угол поворота оси мотора $\theta_A$ колеса диаметра $d$: $S_A = \pi d \cdot \frac{\theta_A^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi r \theta_A^\circ}{180^\circ}$
Приравнивая эти выражения для каждого колеса, получаем при движении обоих колёс вперёд и повороте вокруг точки вне колеи:
Фундаментальное соотношение радиусов и путейЗолотое правило
Отношение радиусов дуг прямо пропорционально пройденным путям колёс и углам поворота соответствующих моторов!
Раздел 2.1Опорный поворот
2.1 Поворот вокруг одного колеса
Одно колесо заблокировано, второе совершает дуговое качение вокруг него
Чтобы повернуть вокруг правого колеса В, оставьте его на месте, а левое колесо А пустите вперёд.
В этом случае центр поворота совпадает с центром неподвижного колеса В.
Посмотрите на неподвижное колесо В. Оно стало центром круга. Левое колесо А находится от него на расстоянии всей колеи, а середина робота — на половине колеи.
Показать формулы поворота вокруг колеса
Опорный поворот: сначала радиус, затем дугаФормулы
Условие: Робот должен повернуться направо на четверть круга вокруг неподвижного колеса В. Диаметр колеса — 10 см, расстояние между колёсами — 20 см. Сколько оборотов сделать мотору А?
Сравниваем две окружности
Радиус дорожки колеса А — 20 см. Четверть этой окружности: $2\times3{,}14\times20\div4=31{,}4$ см. Колесо диаметром 10 см за один оборот тоже проходит 31,4 см. Значит, мотору А нужен один оборот, а мотор В стоит.
Ответ: мотор А должен повернуться на 360°, мотор В — на 0°.
Пример №2 (2.1). Поворот мотора А на 600° при зафиксированном моторе В
Условие: $d = 12\text{ см}, L = 20\text{ см}$. Мотор А: $600^\circ$, мотор В: $0^\circ$. Найдите тип и длину кривой для колеса А, колеса В и маркера.
Ответ: дуги окружностей мерой 180° с центром в колесе В. Длина траектории колеса А = 63 см, колеса В = 0 см, маркера = 31 см.
Раздел 2.2Разворот на месте
2.2 Танковый поворот
Вращение колес в противоположных направлениях с одинаковой скоростью
Танковый поворот — это разворот робота вокруг точки, расположенной строго посередине между колёсами.
Колёса вращаются в противоположных направлениях на одинаковое число градусов.
Найдите середину между колёсами. Это центр поворота. До каждого колеса от него одинаковое расстояние — половина колеи.
Условие: Диаметр колеса — 10 см, расстояние между колёсами — 20 см. Поверните робота на четверть круга направо.
Считаем путь колеса
Радиус дорожки — половина расстояния между колёсами, то есть 10 см. Четверть окружности: $2\times3{,}14\times10\div4=15{,}7$ см. Это половина пути за оборот колеса (31,4 см), значит, мотору А нужен пол-оборота вперёд, а мотору В — пол-оборота назад.
Ответ: ось мотора А должна повернуться на 180°, ось мотора В — на –180°.
Пример №2 (2.2). Мотор А: +150°, Мотор В: -150°
Условие: $d = 12\text{ см}, L = 20\text{ см}, \theta_A = 150^\circ, \theta_B = -150^\circ$. Определите тип и длину кривых.
Ответ: точка посередине неподвижна. Центры колес описали дуги окружностей мерой 90° длиной 16 см.
Для олимпиад: поворот по произвольной дуге
Раздел 2.3Дифференциальная дуга
2.3 Поворот по дуге (Общий случай)
Произвольные соотношения скоростей и направлений вращения моторов
В общем случае колёса робота вращаются со своими произвольными скоростями и углами. Колёса описывают концентрические дуги окружностей с общим центром $O$.
Вариант 1. центр поворота снаружи робота
Колёса вращаются в одном направлении ($\theta_A > 0, \theta_B > 0$):
Здесь $s_A$ и $s_B$ — перемещения колёс со знаком: вперёд плюс, назад минус. При одной дуге без смены направления длина следа середины равна $|s_C|$. Если движение меняло направление, длины отдельных участков надо сложить.
Разбор примеров из Раздела 2.3
Пример №1 (2.3). Мотор А: 3000°, Мотор В: 4000°
Условие: $r = 6\text{ см}, L = 24\text{ см}$. Мотор А: $3000^\circ$, Мотор В: $4000^\circ$. На сколько градусов повернулся робот?
Условие: $d = 14\text{ см}, L = 28\text{ см}$. Робот начертил маркером в центре дугу $R = 126\text{ см}$ с угловой мерой $\alpha = 150^\circ$. Колесо В находится снаружи. Определите углы поворота моторов А и В.